Envariabelanalys för teknisk högskola

1. Obestämd integral 1

1.1 Begreppet ”primitiv funktion” 1

1.2 Användningsområden för primitiva funktioner 2

1.3 Samband mellan primitiv funktion och area 3

1.4 Obestämd integral 6

1.5 Integreringsregler för obestämda integraler 7

1.6 Partiell integration 15

1.7 Integration genom substitution 18

1.7.1 Rotsubstitutioner 23

1.7.2 Trigonometriska substitutioner 23

1.7.3 Substitution i uttryck som innehåller exponentialfunktioner. 25

1.8 Integration av rationella funktioner 26

2. Talföljder. Summasymbolen 39

2.1 Talföljder 39

2.2 Summabeteckning 42

2.3 Matematisk induktion 48

3. Bestämd integral 51

3.1 Integral av en trappfunktion 51

3.2 Begreppet ”bestämd integral” 53

3.3 Riemannsummor 56

3.4 Räkneregler för bestämda integraler 59

4. Numerisk beräkning av integraler 73

4.1 Mittpunktsformeln 73

4.2 Trapetsformeln 75

4.3 Simpsons formel 78

5. Generaliserad integral 83

5.1 Definition av generaliserad integral 83

5.2 Jämförelsekriterier 94

6. Tillämpningar av bestämd integral 101

6.1 Plana ytors area. 101

6.2 Rotationskroppars volym 115

6.3 Båglängd och rotationsarea 123

6.4 Relativitetsteori 133

6.5 Masscentrum 135

6.6 Tröghetsmoment 149

6.7 Sannolikhetslära 155

7. Komplexa tal 163

7.1 Motivering till införandet av komplexa tal 163

7.2 Definition av komplext tal 164

7.3 Räkning med komplexa tal 169

7.4 Algebraiska ekvationer 174

7.5 Det komplexa talplanet. Belopp 180

7.6 Polära koordinater 182

7.7 Polär form för komplexa tal 184

7.8 Eulers formler 191

7.9 Binomiska ekvationer 192

7.10 Komplex exponentialfunktion och komplex logaritm 195

7.11 Komplexa funktioner 197

8. Differentialekvationer 203

8.1 Grundläggande begrepp 203

8.2 Separabla differentialekvationer 204

8.3 Linjära differentialekvationer av första ordningen 215

8.4 Riktningsfält, skarvning och numeriska lösningar 222

8.5 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med

konstanta koefficienter 229

8.5.1 Linjära homogena differentialekvationer av andra

ordningen med konstanta koefficienter 231

8.5.2 Linjära inhomogena differentialekvationer av andra

ordningen med konstanta koefficienter 239

8.6 Komplexa visare. jω-metoden 251

8.7 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med

variabla koefficienter 256

8.8 Faktorisering av operatorn 258

8.9 Några speciella differentialekvationer av ordning 2 260

8.10 Integralekvationer 262

8.11 Linjära differentialekvationer av högre ordning 265

9. Taylorutveckling 269

9.1 Taylors formel 269

9.2 Lagranges restterm 274

9.3 Maclaurins formel 275

9.4 Maclaurinutveckling av ex, cosx och sinx 276

9.5 Gränsvärdesberäkning med hjälp av maclaurinutveckling 286

9.6 Entydighetssatsen för maclaurinutvecklingar 289

9.7 Maclaurinutveckling av 1/(1 –  t) och arctanx 294

9.8 Maclaurinutveckling av ln(1 –  x) 297

9.9 Binomialutvecklingen 303

9.10 L´Hospitals regel 311

10. Numeriska serier 315

10.1. Definition och allmänna egenskaper 315

10.2. Geometriska serier 319

10.3. Konvergenskriterier för positiva serier 324

10.4. Konvergenskriterier för serier med godtyckliga termer 334

11. Potensserier 341

11.1. Inledning 341

11.2. Maclaurinserier 342

11.3. Konvergensvillkor för potensserier 344

11.4. Derivering och integrering av potensserier 350

11.5. Lösning av differentialekvationer med hjälp av potensserier 358

12. Funktionsföljder och funktionsserier 365

12.1. Funktionsföljders konvergens 365

12.2. Funktionsserier 378

12.3. Termvis derivering och integrering av funktionsserier 381

13. Appendix 389

13.1. Komplettering till integration av rationella funktioner 389

13.2. Feluppskattning för trapetsformeln 392

13.3. Hjälpsats till beviset av Simpsons formel 394

13.4. Definition av division för de komplexa talen 396

13.5. En lösningsformel för tredjegradsekvationen 397

13.6. En lösningsformel för fjärdegradsekvationen 404

Svar till testuppgifter 407

Övningsuppgifter 423

Svar till övningsuppgifter 465

Index (Sakregister) 493