Algebra, trigonometri och analys

1 Den här boken   11

1.1 Bokens syfte   11

1.2 Vad finns i boken?   12

 

2 Grundbegrepp   17

2.1 Logik och påståenden   17

2.2 Reella tal och intervall   18

2.3 Räkneoperationer   19

2.4 Potenser   20

2.5 Räkneordning   21

2.6 Ekvationer och identiteter   22

2.7 Oändliga tal   25

2.8 Koordinatsystem och relationer   26

2.9 Funktioner   27

2.10 Extrempunkter och extremvärden   28

2.11 Växande, avtagande och monoton   29

2.12 Ändliga gränsvärden   30

2.13 Oändliga gränsvärden   31

2.14 Kontinuitet   32

2.15 Övningsuppgifter   34

2.16 Svar    43

 

3 Grundläggande funktioner   49

3.1 Räta linjer   49

3.2 Linjära ekvationssystem   55

3.2.1 Substitution   56

3.2.2 Elementära radoperationer   56

3.2.3 Cramers regel   59

3.3 Parabler   61

3.4 Absolutbelopp   68

3.5 Monom    73

3.6 Polynom   78

3.7 Rationella funktioner   87

3.8 Rotfunktioner   93

3.9 Potensfunktioner   97

3.10 Sammansättning av funktioner   101

3.11 Inversa relationer   102

3.12 Inversa funktioner   104

3.13 Övningsuppgifter   107

3.14 Svar    120

 

4 Exponentialfunktioner och logaritmer   139

4.1 Exponentialfunktioner   139

4.2 Logaritmer   140

4.3 Eulers tal   144

4.4 Exponentialekvationer   146

4.5 Logaritmekvationer   149

4.6 Övningsuppgifter   150

4.7 Svar    154

 

5 Trigonometriska funktioner   159

5.1 Cirkulär geometri   159

5.2 Vinklar   162

5.3 Trianglar och Pythagoras sats   164

5.4 Trigonometri i rätvinkliga trianglar   165

5.5 Sinus i allmänna trianglar   165

5.6 Areasatsen   169

5.7 Additinsformeln för sinus   170

5.8 Sinussatsen   171

5.9 Cosinus i allmänna trianglar   172

5.10 Cosinussatsen   174

5.11 Additionsformeln för cosinus   176

5.12 Avstånd i planet och cirkelns ekvation   177

5.13 Trigonometriska funktioner   179

5.14 Arcusfunktioner   193

5.15 Trigonometriska ekvationer   196

5.16 Amplitud-fasvinkelform   200

5.17 Övningsuppgifter   202

5.18 Svar    210

 

6 Komplexa tal   221

6.1 Grundbegrepp   221

6.2 Det komplexa talplanet   225

6.3 Komplexa andragradsekvationer   230

6.4 Komplexa binomiska ekvationer   233

6.5 Komplexa polynomekvationer   235

6.6 Komplexa tal på potensform   237

6.7 Hyperboliska trigonometriska funktioner   239

6.8 Övningsuppgifter   240

6.9 Svar    244

 

7 Derivata   253

7.1 Medellutning   253

7.2 Medelförändring   255

7.3 Medellutning i korta intervall   258

7.4 Definition av derivata   259

7.5 Tangentens och normalens ekvation   262

7.6 Härledning av derivata i godtycklig punkt   264

7.7 Derivata av rätt linje   266

7.8 Derivata av potensfunktion   267

7.9 Derivata av linjärkombinationer   268

7.10 Derivata av produkt och kvot   271

7.11 Derivata av sammansättning   274

7.12 Implicit derivering   275

7.13 Derivata av invers funktion   276

7.14 Derivata av exponentialfunktioner och logaritmer   277

7.15 Derivata av trigonometriska funktioner 279

7.16 Derivata av arcusfunktioner   282

7.17 Högre derivator   283

7.18 Högerderivata och vänsterderivata   285

7.19 Övningsuppgifter   287

7.20 Svar    303

 

8 Derivata och grafer   317

8.1 Kritiska punkter   317

8.2 Derivata och växande respektive avtagande funktion   319

8.3 Andra ordningens kritiska punkter   321

8.4 Andraderivata och konvex respektive konkav funktion   322

8.5 Grafritning med teckentabell   326

8.6 Andraderivatatestet   335

8.7 Tredjederivatatestet   336

8.8 Graf till rationell funktion   338

8.9 Värdemängd i intervall   348

8.10 Optimering av andraderivatatestet   351

8.11 Övningsuppgifter   356

8.12 Svar    364

 

9 Talföljder och summor   379

9.1 Explicita talföljder   379

9.2 Implicita talföljder   381

9.3 Aritmetiska talföljder   381

9.4 Geometriska talföljder   383

9.5 Summor   384

9.6 Aritmetiska summor   386

9.7 Geometriska summor   389

9.8 Pascals triangel   392

9.9 Binomialsatsen   394

9.10 Övningsuppgifter   396

9.11 Svar    402

 

10 Serier    407

10.1 Konvergens och divergens av talföljder   407

10.2 Konvergens och divergens av serier   408

10.3 Ett konvergenskriterium för serier   411

10.4 Geometriska serier   412

10.5 Maclaurinserier   413

10.6 Maclaurinpolynom   415

10.7 Standardutvecklingar   417

10.8 Taylorserier och Taylorpolynom   421

10.9 Feluppskattning av restterm   424

10.10 Övningsuppgifter   427

10.11 Svar   432

 

11 Obestämd integral   437

11.1 Primitiv funktion   437

11.2 Alla primitiva funktioner   438

11.3 Konstanta funktioner   439

11.4 Potensfunktioner   439

11.5 Multiplikation och division med konstant   440

11.6 Summa och differens   441

11.7 Trigonometriska funktioner   442

11.8 Exponentialfunktioner   443

11.9 Några speciella obestämda integraler   444

11.10 Omvända kedjeregeln   445

11.11 Variabelbyte   447

11.12 Partialintegration   450

11.13 Formlerna för dubbla vinkeln   454

11.14 Rationella funktioner   455

11.14.1 Monom i nämnaren   455

11.14.2 Nämnare av första graden   456

11.14.3 Reducibel nämnare av andra graden   458

11.14.4 Irreducibel nämnare av andra graden   462

11.14.5 Nämnare av tredje graden   466

11.14.6 Nämnare av högre grad   473

11.15 Speciella variabelbyten   476

11.15.1 u = x + a   476

11.15.2 u = tan(x)   477

11.15.3 u = tan(x/2)   479

11.16 Additionsformler för sinus och cosinus   480

11.17 Primitiva funktioner med bivillkor   481

11.18 Övningsuppgifter   483

11.19 Svar   489

 

12 Bestämd integral   497

12.1 Definition av bestämd integral   497

12.2 Insättningstecknet   498

12.3 Räknelagar för bestämda integraler   499

12.4 Giltiga och ogiltiga integraluttryck   500

12.5 Bestämd integral och variabelbyte   501

12.6 Bestämd integral och partialintegration   503

12.7 Bestämd integral som funktion   505

12.8 Primitiv funktion som bestämd integral   506

12.9 Bestämd integral och belopp   507

12.10 Definition av generaliserad integral   508

12.10.1 Kontinuerlig funktion   508

12.10.2 Icke-kontinuerlig funktion   511

12.11 Jämförelsekriteriet för integraler   512

12.12 Absolutkonvergens av integraler   514

12.13 Övningsuppgifter   515

12.14 Svar   527

 

13 Tillämpningar av integral   533

13.1 Ackumulering   533

13.2 Area under icke-negativ graf   539

13.3 Area mellan grafer   543

13.4 Volym med snittformeln   547

13.5 Rotationsvolym kring x-axeln   549

13.6 Rotationsvolym kring y-axeln   550

13.7 Längd av graf   552

13.8 Rotationsarea kring x-axeln   555

13.9 Summor och integraler   559

13.10 Serier och generaliserade integraler   560

13.11 Riemannsummor   561

13.12 Övningsuppgifter   565

13.13 Svar   574

 

14 Introduktion till differentialekvationer   579

14.1 Grundbegrepp   579

14.2 Enklaste typen   581

14.3 Bivillkor   582

14.4 Linjära första ordningens differentialekvationer   584

14.5 Separabla differentialekvationer   586

14.6 Linjära och andra ordningens homogena differentialekvationer   589

14.7 Linjära och andra ordningens inhomogena differentialekvationer   592

14.8 Övningsuppgifter   596

14.9 Svar    603

 

15 Kompletterande teori   609

15.1 Axiom för reella tal   609

15.2 Grundläggande räknelagar   610

15.3 Olikheter och absolutbelopp   612

15.4 Supermum och infimum   614

15.5 Induktion och summor   616

15.6 Reella tal som decimaltal   618

15.7 Gränsvärden   620

15.8 Räknelagar för gränsvärden   623

15.9 Oegentliga gränsvärden   626

15.10 Kontinuitet   627

15.11 Derivata   633

15.12 Cauchyföljder   635

15.13 Existens av primitiva funktioner   636

15.14 Integraler   639

15.15 Den naturliga logaritmfunktionen   640

15.16 Den naturliga exponentialfunktionen   641

15.17 Potenser   642

15.18 Trigonometriska funktioner   643

15.19 Standardgränsvärden   646

15.20 Riemannsummor   648

15.21 Differentialekvationer   648