Matematiska utmaningar

Förord 3 

 

Innehåll 7 

 

KAPITEL 0 Aptitretare 13 

0.1  Förstautmaningen 13 

0.2  Lösningsförslag 15 

 

KAPITEL1 Vägningochspel 21 

1.1  Introduktion 21 

1.2  Vägningar 22 

1.3  Vinnandestrategi 26 

1.4  Hemuppgifter 30 

 

KAPITEL 2 Elementära trick i kombinatoriken 

2.1  Introduktion 41 

2.2  Paritetskontroll 41 

2.3  Färgläggningsargument 43 

2.4  Invarianter 46 

2.5  Lådprincipen 51 

2.6  Hemuppgifter 54 

 

KAPITEL3 Likformighet och area 65 

3.1 Introduktion 65 

3.2  Likformighet 68 

3.3  Area 77 

3.4  Hemuppgifter 85 

KAPITEL4 Matematisk induktion 97 

4.1  Introduktion 97 

4.2  Matematisk induktion 100 

4.3  Induktionsprincipen 103 

4.4  Några exempel 104 

4.5  Inte bara talteori 110 

 

KAPITEL 5 Permutationer och kombinationer 135 

5.1  Introduktion 135 

5.2  Kombinationer 139 

5.3  Binomialsatsen 145 

5.4  Permutationer 148 

5.5  Extra uppgifter 154 

5.6  Hemuppgifter 157 

 

KAPITEL 6 Delbarhet 167 

6.1  Introduktion 167 

6.2  Primtalsfaktorisering 170 

6.3  Delbarhetsregler 175 

6.4  Appendix 179 

6.5  Hemuppgifter 181 

 

KAPITEL 7 Kongruenser 189 

7.1 Enmiljondröm 189

7.2  Introduktion 189 

7.3  Några fler exempel 193 

7.4  Division och multiplikativ invers 198 

7.5  Appendix 202 

7.6  Hemuppgifter 204 

 

KAPITEL 8 Ekvationer och ekvationssystem 213 

8.1  Introduktion 213 

8.2  Faktorisering 214 

8.3  Systematisk analys 218 

8.4  Ekvationssystem 221 

8.5  Absolutbelopp 228 

8.6  Andra metoder 233 

8.7  Hemuppgifter 243 

 

KAPITEL9 Trianglar och linjer 255 

9.1  Introduktion 255 

9.2  Lite förkunskaper 256 

9.3  Bisektriser 258 

9.4  Mittpunktsnormaler 262 

9.5  Höjder 264 

9.6  Medianer 266 

9.7  Cevas sats 267 

9.8  Hemuppgifter 272 

 

KAPITEL 10 Inskrivna och omskrivna fyrhörningar 

10.1  Introduktion 279 

10.2  Bevisen 282 

10.3  Någraexempel 289 

10.4  Hemuppgifter 295 

 

KAPITEL 11 Polynom 305 

11.1  Introduktion 305 

11.2  Polynomdivision 308

11.3  Faktorsatsen 313 

11.4  Viètes formler 319 

11.5  Nollställena till heltalspolynom 323 

11.6  Multipla nollställen och derivator 327 

11.7  Att finna ett polynom 328 

 

KAPITEL 12 Heltalsdelen 343 

12.1  Introduktion 343 

12.2  Grundläggande egenskaper 345 

12.3  Fler samband och ekvationer 346 

12.4  En snygg formel 350 

12.5  Appendix 353 

12.6  Hemuppgifter 354 

 

 

KAPITEL 13 Olikheter 359 

13.1  Introduktion 359 

13.2  Omordningsolikheten 361 

13.3  Exempel 363 

13.4  Generalisering av omordningsolikheten 366 

13.5  Appendix: bevis 374 

13.6  Hemuppgifter 376 

 

KAPITEL 14 Geometriska olikheter 383 

14.1  Introduktion 383 

14.2  Grundläggande olikheter 383 

14.3  Olikheter för triangelns sidor 387 

14.4  Ptolemaiosolikhet 390 

14.5  Flerexempel 395 

14.6  Appendix 397 

14.7  Hemuppgifter 399 

 

KAPITEL15 Elementär grafteori 405 

15.1  Introduktion 405 

15.2  Handskakningslemmat 408 

15.3  Planära grafer 412 

15.4  Platonska kroppar 416 

15.5  Eulerska grafer 417 

15.6  Hamiltonska grafer 

15.7  Bipartita grafer 423 

15.8  Färgläggning 425 

15.9  Riktade (orienterade) grafer 428 

15.10  Appendix 431 

15.11  Hemuppgifter 432 

 

KAPITEL 16 Fördjupning i talteori 441 

16.1  Introduktion 441 

16.2  Perfekta tal 441 

16.3  Fermattalen 445 

16.4  Fermats Lilla sats, FLS 446 

16.5  Eulers φ-funktion och Eulers sats 448 

16.6  Kinesiskarestsatsen 450 

16.7  Hemuppgifter 454 

 

Sakregister 459