Ge svar på tal

Förord 7

Till studenten 7

Till läraren 8

Omslaget 10

Tack 10

DEL I Verktyg, notation och begrepp

KAPITEL 1 Logik och aritmetik 13

1.1 Logik och räkneoperationer 13

                                 Logik 13

                                 Hur man skriver argument inom matematik 18

1.2 Upprepade aritmetiska operationer 26

                                 Heltalspotenser 26

                                 Summor 28

                                 Talbeteckningssystem för heltal 35

                                 Talbeteckningssystem för icke-heltal 37

1.3 Sammanfattning och uppgifter 41

KAPITEL 2 Verktyg för bevisföring 43

2.1 Mängder, följder och induktion 43

                                 Mängder 43

                                 Följder och induktion 47

                                 Kombinatorik, Binomialsatsen och andra summor 53

2.2 Reella tal 56

                                 Egenskaper hos delmängder av reella tal 57

                                 Reella tal som oändliga decimalutvecklingar 66

2.3 Sammanfattning och uppgifter 81

KAPITEL 3 Funktioner och former 87

3.1 Funktioner: begrepp och egenskaper 87

                                 Funktioner, definitionsmängder och värdemängder 87

                                 Koordinatsystem och grafer 90

                                 Monotonicitet 91

                                 Polynom 94

3.2 Former, längd och area 100

                                 Linjer, bågar och vinklar 101

                                 Trianglar, fyrhörningar och area 104

                                 Pythagoras sats 110

3.3 Sammanfattning och uppgifter 112

DEL II Elementära funktioner, trigonometri och komplexa tal

KAPITEL 4 Kvadratrötter och andra inversa funktioner 117

4.1 Inversa funktioner och irrationella tal 117

                                 Inversa funktioner 117

                                 Irrationella tal och en följd för potensfunktioner 121

4.2 En ny algebraisk operation: rot av tal 124

                                 Kvadratrötter 124

                                 Andragradspolynom 128

                                 Rationella potenser 130

4.3 Sammanfattning och uppgifter 134

KAPITEL 5 Trigonometri 137

5.1 Definitioner och formler 137

                                 Definitioner 137

                                 Trigonometriska formler 138

5.2 Olikheter och arcusfunktioner 143

                                 Trigonometriska olikheter 143

                                 Arcusfunktioner 144

5.3 Sammanfattning och uppgifter 148

KAPITEL 6 Den naturliga exponentialfunktionen och dess invers 151

6.1 Exponentialfunktion 151

                                 Ränta på ränta 151

                                 Exponentialfunktionen 155

6.2 Den naturliga logaritmfunktionen och irrationella potenser 171

                                 Inversen till exponentialfunktionen 171

                                 Irrationella potenser 175

6.3 Sammanfattning och uppgifter 177

KAPITEL 7 Komplexa tal 179

7.1 Algebraiska operationer 179

                                 Aritmetik med komplexa tal 180

                                 Andragradspolynom och komplexa tal 184

7.2 Funktioner och geometri 187

                                 Komplexa exponentialfunktionen 187

                                 Komplex geometri 193

                                 Avbildningar av komplexa funktioner 197

7.3 Sammanfattning och uppgifter 200

BILAGA A Lösningsförslag 203

BILAGA B Det grekiska alfabetet 235

BILAGA C Ytterligare material 237

C.1 Ett axiomsystem för de reella talen 237

C.2 En mängd utan den arkimediska egenskapen 240

C.3 Kurvor och längd 241

C.4 Motivation bakom komplexa tal 243

Litteraturförteckning 249

Sakregister 251