Envariabelanalys för teknisk högskola

1. Matematikens struktur 1

1.1 Utsagor 1

1.2 Logiska operatorer 1

1.3 Sanningsvärdestabeller 6

1.4 Matematikens uppbyggnad 8

1.5 Några bevistyper 10

1.6 Mängder 14

1.7 Hela och rationella tal 20

1.8 Reella tal 25

1.9 Ordningsrelationer 27

1.10 Räkneregler för reella tal 30

2. Några viktiga baskunskaper 33

2.1 Polynomdivision 33

2.2 Faktoruppdelning av polynom 35

2.3 Olikheter 44

2.4 Analytisk geometri 48

2.4.1 Räta linjen 49

2.4.2 Cirkeln 51

2.4.3 Ellipsen 52

2.4.4 Hyperbeln 55

2.5 Absolutbelopp 57

3. Funktionsbegreppet 65

3.1 Det allmänna funktionsbegreppet 65

3.2 Funktionsgrafer 68

3.3 Omvändbara funktioner 70

3.4 Växande och avtagande funktioner 74

3.5 Sammansatta funktioner 76

4. Exponential- och logaritmfunktioner 79

4.1 Uttrycket ax 79

4.2 Exponentialfunktionen 81

4.3 Den naturliga exponentialfunktionen. Talet e 84

4.4 Den naturliga logaritmen 85

4.5 Logaritmlagarna 87

4.6 Den naturliga logaritmfunktionen 92

4.7 Allmänna logaritmer 96

4.8 10-logaritmer 97

4.9 De hyperboliska funktionerna och areafunktionerna 101

5. De trigonometriska funktionerna 107

5.1 Vinkelmåttet radian 107

5.2 De trigonometriska uttrycken för spetsiga vinklar 109

5.3 Några exakta värden 110

5.4 De trigonometriska uttrycken för godtyckliga vinklar 111

5.5 Trigonometriska additionsformler 114

5.6 Formler för dubbla och halva vinkeln 115

5.7 Sinus- och arcussinusfunktionernas grafer 118

5.8 Ekvationen sinv = k 121

5.9 De trigonometriska funktionernas perioder 122

5.10 Tangens- och arcustangensfunktionernas grafer 123

5.11 Ekvationen tanv = k 125

5.12 Cosinus- och arcuscosinusfunktionernas grafer 126

5.13 Ekvationen cosv = k 128

5.14 Cotangens- och arcuscotangensfunktionernas grafer 129

5.15 Trigonometriska ekvationer av typen sinv = sinu. 130

5.16 Uttrycket asinv + bcosv 131

5.17 Förenkling av arcusuttryck 134

6. Gränsvärden 139

6.1 Begreppet ”gränsvärde då x går mot a” 139

6.2 Räknelagar för gränsvärden 143

6.3 Ett viktigt trigonometriskt gränsvärde 153

6.4 Begreppet ”gränsvärde då x går mot oändligheten” 156

6.5 Höger- och vänstergränsvärde 162

6.6 Kontinuitet 167

7. Derivata 175

7.1 Historik 175

7.2 Derivatans definition 176

7.3 Tangent och normal till en kurva 182

7.4 Deriverbarhet. Höger- och vänsterderivata 185

7.5 Summa- och skillnadsreglerna 188

7.6 Produkt- och kvotreglerna 191

7.7 Sammansatta funktioners derivator 195

7.8 De elementära funktionernas derivator 199

7.9 Implicit derivering 209

7.10 Inversa funktionens derivata 213

8. Tillämpningar av derivata 219

8.1 Maximum och minimum 219

8.2 Betydelsen av derivatans tecken  229

8.3 Kurvkonstruktion 246

8.4 Bestämning av asymptoter 249

8.5 Exempel på kurvkonstruktion 255

8.6 Grafisk och numerisk lösning av ekvationer 261

9. Högre derivator 271

9.1 Andraderivata 271

9.2 Inversa funktionens andraderivata 272

9.3 Betydelsen av andraderivatans tecken 274

9.4 Krökning 281

9.5 Derivator av högre ordning än två 285

10. Appendix 289

10.1 Bevis av en grundläggande trigonometrisk additionsformel  289

10.2 Kompletterande bevis av räknelagar för gränsvärden 290

10.3 Ett grundläggande resultat för reella talmängder 293

10.4 Några viktiga satser om kontinuerliga funktioner 294

10.5 En analytisk definition av begreppen konvex och konkav 297

Svar till testuppgifter 299

Övningsuppgifter 319

Svar till övningsuppgifter 351

Index 383