Differentialkalkyl och skalära ekvationer

0 Ekvationen f(x) = 0  9

1 Reella tal  15

1.1 Mängdlära 15

1.2 Matematisk logik 18

1.3 Rationella tal 22

1.4 Talföljder och konvergens 26

1.5 Reella tal 33

1.6 Mängder av reella tal 41

1.7 Datorrepresentation av reella tal 45

2 Funktioner  55

2.1 Funktionsbegreppet 55

2.2 Funktionsrum och funktionsalgebra 60

2.3 Polynom och rationella funktioner 62

2.4 Potensfunktionen pow_ : R+ ! R+ 67

2.5 Exponentialfunktionen exp : R ! R+ 69

2.6 Naturliga logaritmen ln : R+ ! R 70

2.7 De trigonometriska funktionerna 71

2.8 Arcusfunktionerna 74

3 Gränsvärde och kontinuitet  83

3.1 Gränsvärde 83

3.2 Kontinuitet 89

3.3 Likformig kontinuitet 92

3.4 Lipschitz-kontinuitet 96

3.5 Symbolisk bestämning av gränsvärden 100

3.6 Numerisk beräkning av gränsvärden 105

4 Derivata och linjärisering  117

4.1 Derivatans definition 117

4.2 De elementära funktionernas derivator 123

4.3 Deriveringsregler 124

4.4 Extremvärden 130

4.5 Medelvärdessatsen 137

4.6 Linjärisering 142

4.7 Numerisk derivata 145

5 Taylorpolynom och serier  157

5.1 Taylorpolynom 157

5.2 Bestämning av gränsvärden 163

5.3 Serier 167

5.4 Potensserier 175

5.5 Taylorserier 180

6 Numerisk ekvationslösning  193

6.1 Ekvationer, rötter och fixpunkter 193

6.2 Bisektionsalgoritmen 196

6.3 Fixpunktsalgoritmen 200

6.4 Newtons metod 205

6.5 Konvergenshastighet 209

7 Tillämpningar  221

7.1 Beräkning av de elementära funktionerna 221

7.2 Simulering av mekaniska system 227

7.3 Simulering av kemiska reaktioner 232

8 Repetition  239

Reella tal 239

Funktioner 243

Gränsvärde och kontinuitet 247

Derivata och linjärisering 251

Taylorpolynom och serier 257

Numerisk ekvationslösning 262

A Grekiska alfabetet  265

B Egenskaper för de reella talen  267

C Komplexa tal  269

D Programmering  273

Facit  277

Sakregister  289