Med fokus på linjär algebra

Förord till första upplagan 9

Förord till andra upplagan 13

Förord till tredje upplagan 15

Förord till fjärde upplagan 17

KAPITEL 1 Vektorer 19

1. 1.1 Vektoralgebra 22
2. 1.2 Baser och koordinater 25
3. 1.3 Representationer för linjer och plan 30
4. 1.4 Övningar 31

KAPITEL 2 Ortonormerade baser 35

1. 2.1 Längden av en vektor 36
2. 2.2 Skalär produkt 36
3. 2.3 Planets ekvation 40
4. 2.4 Avståndsformeln 41
5. 2.5 Motsvarigheter i den plana geometrin 44
6. 2.6 Projektioner 45
7. 2.7 Övningar 48

KAPITEL 3 Orienteringsproblem i rymden och vektorprodukt i R3 53

1. 3.1 Area- och volymberäkningar 61
2. 3.2 Räkneregler för kryssprodukt 65
3. 3.3 Om generaliseringar av kryssprodukten 66
4. 3.4 Övningar 67

KAPITEL 4 Ellipser, hyperbler och parabler 71

1. 4.1 Ellipser 71
2. 4.2 Hyperbler 73
3. 4.3 Parabler 74
4. 4.4 Olika typer av lösningsmängder till kvadratiska ekvationer i två variabler 75
5. 4.5 Övningar 77

KAPITEL 5 Matriser och Gausselimination 81

1. 5.1 Inledning till den linjära algebran – ett exempel 81
2. 5.2 System av linjära ekvationer 83
3. 5.3 Elementära radoperationer 86
4. 5.4 Eliminering till echelonform 88
5. 5.5 Radförenklingsalgoritmen 90
6. 5.6 Existens- och entydighetsfrågor 94
7. 5.7 Övningar 95

KAPITEL 6 Vektorer i Rn 99

1. 6.1 Linjära kombinationer 100
2. 6.2 Ekvationen Ax b 102
3. 6.3 Linjärt oberoende 104
4. 6.4 Snabbkriterier för linjärt beroende 106
5. 6.5 Basbegreppet i Rn 107
6. 6.6 Övningar 109

KAPITEL 7 Linjära avbildningar 117

1. 7.1 Matrisen av en linjär avbildning 119
2. 7.2 Egenskaper hos linjära avbildningar 126
3. 7.3 Övningar 129

KAPITEL 8 Matrisalgebra 131

1. 8.1 Matrisaddition och multiplikation med skalär 131
2. 8.2 Matrismultiplikation  133
3. 8.3 Rad-kolonn-metoden  135
4. 8.4 Räkneregler för matrismultiplikation 136
5. 8.5 Upphöjt i, transponat 138
6. 8.6 Övningar 140

KAPITEL 9 Matrisinverser 145

1. 9.1 Elementärmatriser  148
2. 9.2 Inverskonstruktion 149
3. 9.3 Karakterisering av inverterbara matriser 152
4. 9.4 LU-faktorisering eller numerisk invertering 153
5. 9.5 Övningar 161
6.  
7.  

KAPITEL 10  Determinanter 167

1. 10.1 Grundläggande egenskaper 168
2. 10.2 Härledda egenskaper 169
3. 10.3 Sarrus regel 173
4. 10.4 Utveckling i kofaktorer 174
5. 10.5 Formeln för matrisinvers 176
6. 10.6 Cramers regel 178
7. 10.7 Övningar 179

KAPITEL 11 Egenvärden och egenvektorer 189

1. 11.1 Den karakteristiska ekvationen 195
2. 11.2 Likformiga matriser 196
3. 11.3 Diagonalisering 197
4. 11.4 Metodbeskrivning 200
5. 11.5 Komplexa egenvärden 206
6. 11.6 Övningar 212

KAPITEL 12  Vektorrum 223

1. 12.1 Underrum  225
2. 12.2 Fundamentala underrum definierade av matriser 227
3. 12.3 Att bestämma baser i fundamentala underrum 229
4. 12.4 Övningar 233

KAPITEL 13  Euklidiska vektorrum 237

1. 13.1 Vinkeln mellan två vektorer 240
2. 13.2 Ortogonala underrum  241
3. 13.3 Övningar 244

KAPITEL 14   Projektioner på underrum och minsta kvadratmetoden 247

1. 14.1 Projektioner och deras samband med speglingar 252
2. 14.2 Minsta kvadratanpassning till mätvärden 255
3. 14.3 Ortogonala baser och deras betydelse 258
4. 14.4 Övningar 261

KAPITEL 15  Ortonormerade baser och ortonormering 267

1. 15.1 Ortonormering av baser 268
2. 15.2 QR-faktorisering och numeriska beräkningar 272
3. 15.3 Polynomapproximation på flera sätt 273
4. 15.4 Övningar 279

KAPITEL 16   Unitära rum 283

1. 16.1 Normerade vektorrum 285
2. 16.2 Ändligt dimensionella vektorrum 286
3. 16.3 Hermitska matriser 287
4. 16.4 Unitära matriser 290
5. 16.5 Övningar 292

KAPITEL 17 Allmänna likformighetsavbildningar 293

1. 17.1 Dynamiska system och differentialekvationer 294
2. 17.2 Bakåtsubstitution och triangularisering 295
3. 17.3 Spektralsatsen 298
4. 17.4 Jordanformer 301
5. 17.5 Linjära differentialekvationer och matrisexponentialfunktionen 304
6. 17.6 Övningar 310

KAPITEL 18   Extremvärdesundersökningar och kvadratiska former 313

1. 18.1 Analys av de kvadratiska termerna 314
2. 18.2 Symmetriska matriser och ändlig dimension 316
3. 18.3 Positivt definita kvadratiska former 318
4. 18.4 Positivt semidefinita kvadratiska former 322
5. 18.5 Kongruensrelationer  324
6. 18.6 Generaliserade egenvärdesproblem 327
7. 18.7 Övningar 330

KAPITEL 19   Egenvärden och rektangulära matriser 333

1. 19.1 Matrisnormer  333
2. 19.2 Numeriska tillämpningar 334
3. 19.3 Singulärvärdesuppdelning  337
4. 19.4 Övningar 342

KAPITEL 20   Repetition 345

1. 20.1 Typtenta 345
2. 20.2 Tentamina 20031030, 20130604 347

BILAGA A Komplexa tal 349

1. A.1 Det komplexa talplanet 353
2. A.2 Geometrin i den komplexa multiplikationen 355

BILAGA B Snabbguide till MatLab 359

1. B.1 Filen cdef.m 366
2. B.2 Figuren figur.epsc 367
3. B.3 Laborationsuppgifter 367

BILAGA C Svar och anvisningar till uppgifterna 369

Litteraturförteckning 423

Sakregister 425